OpenGL系列讲座（7）

第五章   OpenGL 变换
 

OpenGL变换是本篇的重点内容，它包括计算机图形学中最基本的三维变换，即几何变换、

投影变换、裁剪变换、视口变换，以及针对OpenGL的特殊变换概念理解和用法，如相机模拟、

矩阵堆栈等。学好了这章，才开始真正走进三维世界。

 

5.1  从三维空间到二维平面
 

5.1.1 相机模拟

 

在真实世界里，所有的物体都是三维的。但是，这些三维物体在计算机世界中却必须以

二维平面物体的形式表现出来。那么，这些物体是怎样从三维变换到二维的呢？下面我们采

用相机(Camera)模拟的方式来讲述这个概念，如图2-5-1所示。

 

            

设置相机                   视点变换

 

              

调整物体位置                   模型变换

 

              

调焦拍照                        投影变换

 

              

冲印相片                         视口变换

 

 

                    图2-5-1  相机模拟

 

实际上，从三维空间到二维平面，就如同用相机拍照一样，通常都要经历以下几个步骤

（括号内表示的是相应的图形学概念）：

    第一步，将相机置于三角架上，让它对准三维景物（视点变换，Viewing Transformation

）；

    第二步，将三维物体放在适当的位置（模型变换，Modeling Transformation ）；

    第三步，选择相机镜头并调焦，使三维物体投影在二维胶片上（投影变换，Projection

Transformation ）；

    第四步，决定二维像片的大小（视口变换，Viewport Transformation ）。

这样，一个三维空间里的物体就可以用相应的二维平面物体表示了，也就能在二维的计

算机屏幕上正确显示了。

 

 

5.1.2 三维图形显示流程

 

运用相机模拟的方式比较通俗地讲解了三维图形显示的基本过程，但在具体应用OpenGL

函数库编程时，还必须了解三维图形世界中的几个特殊坐标系的概念，以及用这些概念表达

的三维图形显示流程。

计算机本身只能处理数字，图形在计算机内也是以数字的形式进行加工和处理的。大家

都知道，坐标建立了图形和数字之间的联系。为了使被显示的物体数字化，要在被显示的物

体所在的空间中定义一个坐标系。这个坐标系的长度单位和坐标轴的方向要适合对被显示物

体的描述，这个坐标系称为世界坐标系。

计算机对数字化的显示物体作了加工处理后，要在图形显示器上显示，这就要在图形显

示器屏幕上定义一个二维直角坐标系，这个坐标系称为屏幕坐标系。这个坐标系坐标轴的方

向通常取成平行于屏幕的边缘，坐标原点取在左下角，长度单位常取成一个象素的长度，大

小可以是整型数。

为了使显示的物体能以合适的位置、大小和方向显示出来，必须要通过投影。投影的方

法有两种，即正射投影和透视投影。

有时为了突出图形的一部分，只把图形的某一部分显示出来，这时可以定义一个三维视

景体(Viewing Volume)。正射投影时一般是一个长方体的视景体，透视投影时一般是一个棱

台似的视景体。只有视景体内的物体能被投影在显示平面上，其他部分则不能。在屏幕窗口

内可以定义一个矩形，称为视口(Viewport)，视景体投影后的图形就在视口内显示。

为了适应物理设备坐标和视口所在坐标的差别，还要作一适应物理坐标的变换。这个坐

标系称为物理设备坐标系。

    根据上面所述，三维图形的显示流程应如图2-5-2所示。

  

 

                    图2-5-2 三维图形的显示流程

 

5.1.3 基本变换简单分析

 

    下面举一个简单的变换例子，cube.c：

 

例 2-4  简单变换例程 cube.c

 

     #include "glos.h"

     #include <GL/gl.h>

     #include <GL/glu.h>

     #include <GL/glaux.h>

 

     void myinit(void);

     void CALLBACK myReshape(GLsizei w, GLsizei h);

     void CALLBACK display(void);

 

     void CALLBACK display (void)

    {

        glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);

        glColor3f (1.0, 1.0, 1.0);

        glLoadIdentity ();  /*  clear the matrix    */

        glTranslatef (0.0, 0.0, -5.0);  /*  viewing transformation  */

        glScalef (1.0, 2.0, 1.0);   /*  modeling transformation */

        auxWireCube(1.0);   /*  draw the cube   */

        glFlush();

    }

 

    void myinit (void) {

       glShadeModel (GL_FLAT);

     }

 

     void CALLBACK myReshape(GLsizei w, GLsizei h)

     {

         glMatrixMode (GL_PROJECTION);   /*  prepare for and then  */

         glLoadIdentity ();  /*  define the projection  */

         glFrustum (-1.0, 1.0, -1.0, 1.0, 1.5, 20.0);    /*  transformation  */

         glMatrixMode (GL_MODELVIEW);    /*  back to modelview matrix    */

         glViewport (0, 0, w, h);    /*  define the viewport */

     }

 

    void main(void)

   {

        auxInitDisplayMode (AUX_SINGLE | AUX_RGBA);

        auxInitPosition (0, 0, 500, 500);

        auxInitWindow ("Perspective 3-D Cube");

        myinit ();

        auxReshapeFunc (myReshape);

        auxMainLoop(display);

    }

 

以上程序运行结果就是绘制一个三维的正面透视立方体。其中已经用到了相机模拟中提

到的四种基本变换，即视点变换、模型变换、投影变换和视口变换。

 

  

 

下面简单分析一下整个程序过程：

一、视点变换。视点变换是在视点坐标系中进行的。视点坐标系于一般的物体所在的世

界坐标系不同，它遵循左手法则，即左手大拇指指向Z正轴，与之垂直的四个手指指向X正

轴，四指弯曲90度的方向是Y正轴。而世界坐标系遵循右手法则的。如图2-5-3所示。当矩

阵初始化glLoadIdentity()后，调用glTranslatef()作视点变换。函数参数(x,y,z)表示视

点或相机在视点坐标系中移动的位置，这里z=-5.0，意思是将相机沿Z负轴移动5个单位。

通常相机位置缺省值同场景中的物体一样，都在原点处，而且相机初始方向都指向Z负轴。

这里相机移走后，仍然对准立方体。如果相机需要指向另一方向，则调用glRotatef()可以

改变。

  

 

                      图2-5-3  视点坐标系与世界坐标系

 

二、模型变换。模型变换是在世界坐标系中进行的。在这个坐标系中，可以对物体实施

平移glTranslatef()、旋转glRotatef()和放大缩小glScalef()。例子里只对物体进行比例

变换，glScalef(sx,sy,sz)的三个参数分别是X、Y、Z轴向的比例变换因子。缺省时都为1.0，

即物体没变化。程序中物体Y轴比例为2.0，其余都为1.0，就是说将立方体变成长方体。

三、投影变换。投影变换类似于选择相机的镜头。本例中调用了一个透视投影函数

glFrustum()，在调用它之前先要用glMatrixMode()说明当前矩阵方式是投影L_PROJECTION。

这个投影函数一共有六个参数，由它们可以定义一个棱台似的视景体。即视景体内的部分可

见，视景体外的部分不可见，这也就包含了三维裁剪变换。

四、视口变换。视口变换就是将视景体内投影的物体显示在二维的视口平面上。通常，

都调用函数glViewport()来定义一个视口，这个过程类似于将照片放大或缩小。

总而言之，一旦所有必要的变换矩阵被指定后，场景中物体的每一个顶点都要按照被指

定的变换矩阵序列逐一进行变换。注意，OpenGL中的物体坐标一律采用齐次坐标，即

(x,y,z,w)，故所有变换矩阵都采用4X4矩阵。一般说来，每个顶点先要经过视点变换和模型

变换，然后进行指定的投影，如果它位于视景体外，则被裁剪掉。最后，余下的已经变换过

的顶点x、y、z坐标值都用比例因子w除，即x/w、y/w、z/w，再映射到视口区域内，这样

才能显示在屏幕上。

 

 

5.2  几何变换
 

实际上，上述所说的视点变换和模型变换本质上都是一回事，即图形学中的几何变换。

只是视点变换一般只有平移和旋转，没有比例变换。当视点进行平移或旋转时，视点坐标系

中的物体就相当于在世界坐标系中作反方向的平移或旋转。因此，从某种意义上讲，二者可

以统一，只是各自出发点不一样而已。读者可以根据具体情况，选择其中一个角度去考虑，

这样便于理解。

 

 

5.2.1 两个矩阵函数解释

 

    这里先解释两个基本OpenGL矩阵操作函数，便于以后章节的讲述。函数解释如下：

 

void glLoadMatrix{fd}(const TYPE *m)

设置当前矩阵中的元素值。函数参数*m是一个指向16个元素(m0,m1,...,m15)的指针，

这16个元素就是当前矩阵 M 中的元素，其排 列方式如下：

       *                  *

       * m0  m4  m8   m12 *

    M =* m1  m5  m9   m13 *

       * m2  m6  m10  m14 *

       * m3  m7  m11  M15 *

       *                  *

 

void glMultMatrix{fd}(const TYPE *m)

   用当前矩阵去乘*m所指定的矩阵，并将结果存放于*m中。当前矩阵可以是用

glLoadMatrix()

指定的矩阵，也可以是其它矩阵变换函数的综合结果。

 

    当几何变换时，调用OpenGL的三个变换函数glTranslate*()、glRotate*()和glScale*()，

实质上相当于产生了一个近似的平移、旋转和比例矩阵，然后调用glMultMatrix()与当前矩

阵相乘。但是直接调用这三个函数程序运行得快一些，因OpenGL自动能计算矩阵。

 

 

5.2.2 平移


 

    平移变换函数如下：

void  glTranslate{fd}(TYPE x,TYPE y,TYPE z)

三个函数参数就是目标分别沿三个轴向平移的偏移量。这个函数表示用这三个偏移量生

成的矩阵乘以当前矩阵。当参数是(0.0,0.0,0.0)时，表示对函数glTranslate*()的操作是

单位矩阵，也就是对物体没有影响。

    平移示意如图2-5-5所示。

  

图2-5-5  目标平移

 

 

 

5.2.3 旋转

 

    旋转变换函数如下：

void  glRotate{fd}(TYPE angle,TYPE x,TYPE y,TYPE z)

函数中第一个参数是表示目标沿从点(x,y,z)到原点的方向逆时针旋转的角度，后三个参

数是旋转的方向点坐标。这个函数表示用这四个参数生成的矩阵乘以当前矩阵。当角度参数

是0.0时，表示对物体没有影响。

    旋转示意如图2-5-6所示。

 

  

  

图2-5-6  目标旋转

 

5.2.3 缩放和反射


    缩放和反射变换函数如下：

void  glScale{fd}(TYPE x,TYPE y,TYPE z)

三个函数参数值就是目标分别沿三个轴向缩放的比例因子。这个函数表示用这三个比例

因子生成的矩阵乘以当前矩阵。这个函数能完成沿相应的轴对目标进行拉伸、压缩和反射三

项功能。当参数是(1.0,1.0,1.0)时，表示对函数glScale*()操作是单位矩阵，也就是对物

体没有影响。当其中某个参数为负值时，表示将对目标进行相应轴的反射变换，且这个参数

不为1.0，则还要进行相应轴的缩放变换。最好不要令三个参数值都为零，这将导致目标沿

三轴都缩为零。

    缩放和反射示意如图2-5-7所示。

 

  

 

图2-5-7  目标缩放和反射

 

5.2.5 几何变换举例

 

以上介绍了三个基本几何变换函数，下面举一个简单的例子进一步说明它们的用法。程

序geomtrsf.c如下：

 

例 2-5  几何变换例程 geomtrsf.c

 

#include "glos.h"

#include <GL/gl.h>

#include <GL/glu.h>

#include <GL/glaux.h>

 

void myinit(void);

void draw_triangle(void);

void CALLBACK display(void);

void CALLBACK myReshape(GLsizei w, GLsizei h);

 

void draw_triangle(void)

{

    glBegin(GL_LINE_LOOP);

    glVertex2f(0.0, 25.0);

    glVertex2f(25.0, -25.0);

    glVertex2f(-25.0, -25.0);

    glEnd();

}

 

void CALLBACK display(void)

{

    glClearColor (0.0, 0.0, 0.0, 1.0);

    glClear (GL_COLOR_BUFFER_BIT);

 

/* draw an original triangle */

 

    glLoadIdentity ();

    glColor3f (1.0, 1.0, 1.0);         /* white */

    draw_triangle ();

 

/* translating a triangle along X_axis  */

 

    glLoadIdentity ();

    glTranslatef (-20.0, 0.0, 0.0);

    glColor3f(1.0,0.0,0.0);           /* red */

    draw_triangle ();

 

/* scaling a triangle along X_axis by 1.5 and along Y_axis by 0.5  */

 

    glLoadIdentity();

    glScalef (1.5, 0.5, 1.0);

    glColor3f(0.0,1.0,0.0);           /* green */

    draw_triangle ();

 

/* rotating a triangle in a counterclockwise direction about Z_axis */

 

    glLoadIdentity ();

    glRotatef (90.0, 0.0, 0.0, 1.0);

    glColor3f(0.0,0.0,1.0);          /* blue */

    draw_triangle ();

 

/*  scaling a triangle along Y_axis and reflecting it about Y_axis  */

 

    glLoadIdentity();

    glScalef (1.0, -0.5, 1.0);

    glColor3f(1.0,1.0,0.0);          /* yellow */

    draw_triangle ();

 

    glFlush();

}

 

void myinit (void)

{

    glShadeModel (GL_FLAT);

}

 

void CALLBACK myReshape(GLsizei w, GLsizei h)

{

    glViewport(0, 0, w, h);

    glMatrixMode(GL_PROJECTION);

    glLoadIdentity();

    if (w <= h)

    glOrtho (-50.0, 50.0, -50.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w,

        50.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w, -1.0, 1.0);

    else

    glOrtho (-50.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h,

        50.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, -50.0, 50.0, -1.0, 1.0);

    glMatrixMode(GL_MODELVIEW);

}

 

void main(void)

{

    auxInitDisplayMode (AUX_SINGLE | AUX_RGBA);

    auxInitPosition (0, 0, 500, 500);

    auxInitWindow ("Geometric Transformations");

    myinit ();

    auxReshapeFunc (myReshape);

    auxMainLoop(display);

}

 

   以上程序运行结果：第一个白色三角形是原始三角形，第二个红色三角形是白三角沿X

负轴平移后的三角形，第三个绿色三角形是白三角分别沿X轴和Y轴比例变换后的三角形，

第四个蓝色三角形是白三角绕Z正轴逆时针转90度后的三角形，第五个黄色三角形是白三角

沿Y轴方向缩小一倍且相对于X轴作反射后形成的三角形。

 

  

图 2-5-8 三角形的几何变换