数据结构学习(c++)之递归

看过这样一道题，问，“程序结构化设计的三种基础结构，顺序、选择、循环是
   不是必须的？”当然，你知道这样一个论断，只要有这三种就足够了；但是能不
   能更少呢？答案是“可以”，原因就是递归能取代循环的作用，例如下面的对一
   个数组里面元素求和的函数：

   float rsum (float a[], const int n)
   {
   if (n <= 0) return 0;
   else return rsum(a, n – 1) + a[n – 1];
   }

　　   实际上就是：

   sum = 0;
   for (int i = 0; i < n; i++) sum += a;

　　   但实际的情况是，任何的一种语言里面都有循环结构，但不是任何的语言都
   支持递归；套用一句话，递归是万能的，但没有递归不是万万不能的。然而，我
   看到现在的某些人，不管什么问题都要递归，明明循环是第一个想到的方法，偏
   偏费尽脑筋去寻找递归算法。对此，我真的不知道该说什么。



　　    递归是算法吗

　　    经常的看到“递归算法”、“非递归算法”，这种提法没有语义上的问
   题，并且我自己也这样用——递归的算法。但这也正说明了，递归不是算法，他
   是一种思想，正是因为某个算法的指导思想是递归的，所以才被称为递归算法；
   而一个有递归算法的问题，当你不使用递归作为指导思想，这样得到的算法就是
   非递归算法。——而对于循环能处理的问题，都有递归解法，在这个意义上说，
   循环算法都可以称为非递归算法。

　　    我在这咬文嚼字没什么别的意思，只是想让大家知道，能写出什么样的算
   法，关键是看你编写算法时的指导思想。如果一开始就想到了循环、迭代的方
   法，你再费心耗神去找什么递归算法——即使找到了一种看似“简洁”的算法，
   由于他的低效实际上还是废物——你还在做这种无用功干什么？典型的学究陋
   习。如果你仅仅想到了递归的方法，现在你想用栈来消解掉递归，你做的工作仅
   仅是把系统做的事自己做了，你又能把效率提高多少？盲目的迷信消解递归就一
   定能提高效率是无根据的——你做的工作的方法如果不得当的话，甚至还不如系
   统原来的做法。

　　    从学排列组合那天开始，我所知道的阶乘就是这个样子n! = 1×2×…n。
   如果让我来写阶乘的算法，我也只会想到从1乘到n。再如，斐波那契数列，如果
   有人用自然语言描述的话，一定是这样的，开始两项是0、1，以后的每项都是前
   面两项的和。所以让我写也只会得到“保存前两项，然后相加得到结果”的迭代
   解法。——现在只要是讲到递归几乎就有他们的登场，美其名曰：“定义是递归
   的，所以我们写递归算法”。我想问的是，定义的递归抽象是从哪里来的？显然
   阶乘的定义是从一个循环过程抽象来的，斐波那契数列的定义是个迭代的抽象。
   于是，我们先从一个本不是递归的事实抽象出一个递归的定义，然后我们说，
   “因为问题的定义是递归的，因此我们很容易写出递归算法”，接着说，“我们
   也能将这个递归算法转化为循环、迭代算法”，给人的感觉就像是1÷3＝0.33
   ……，0.33……×3＝0.99……，然后我们花了好大的心智才明白1＝0.99……。

　　    还是有那么些人乐此不疲，是凡讲到递归就要提到这两个，结果，没有一
   个学生看到阶乘那样定义没有疑问的，没有一个对于那个递归的阶乘函数抱有钦
   佩之情的——瞎折腾什么呢？所以，如果要讲递归，就要一个令人信服的例子，
   而这个例子非汉诺塔莫属。

　   汉诺塔的非递归解法

　　    似乎这个问题的最佳解法就是递归，如果你想用栈来消解掉递归达到形式
   上的消除递归，你还是在使用递归的思想，因此，他本质上还是一个递归的算
   法。我们这本黄皮书在谈论到“什么情况使用递归”的时候，在“3.问题的解法
   是递归的”这里面，就这样说了“有些问题只能用递归的方法来解决，一个典型
   的例子就是汉诺塔”。

　　   但我坚信，如果一个问题能用分析的办法解决——递归实际上就是一个分
   析解法，能将问题分解成－1规模的同等问题和移动一个盘子，如果这样分解下
   去一定会有解，最后分解到移动1号盘子，问题就解决了——那么我也应该能用
   综合的办法解决，就是从当前的状态来确定怎样移动，而不是逆推得到决定。这
   是对实际工作过程的一个模拟，试想如果让我们去搬盘子，我们肯定不会用递归
   来思考现在应该怎么搬——只要8个盘子，我们脑子里的“工作栈”恐怕就要溢
   出了——我们要立即决定怎么搬，而不是从多少步之后的情景来知道怎么搬。下
   面我们通过模拟人的正向思维来寻找这个解法。


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　　    假设如下搬7个盘子的初始状态（选用7个是因为我曾经写出了一个1～6结
   果正确的算法，而在7个的时候才发现一个条件的选择错误，具体大家自己尝试
   吧），我们唯一的选择就是搬动1号盘子，但是我们的问题是向B搬还是向C搬？

　　    显然，我们必须将7号盘子搬到C，在这之前要把6号搬到B，5号就要搬到
   C，……以此类推，就会得出结论（规律1）：当前柱最上面的盘子的目标柱应该
   是，从当前柱上“需要搬动的盘子”最下面一个的目标柱，向上交替交换目标柱
   到它时的目标柱。就是说，如果当前柱是A，需要移动m个盘子，从上面向下数的
   第m个盘子的目标柱是C，那么最上面的盘子的目标柱就是这样：if (m % 2) 目
   标和第m个盘子的目标相同（C）;else 目标和第m个盘子的目标不同（B）。接下
   来，我们需要考虑如果发生了阻塞，该怎么办，如下所示：


<P align=center><IMG src="http://www.yesky.com/image20010518/75772.gif"></P>
　　    3号盘子的目标柱是C，但是已经有了1号盘子，我们最直觉的反映就是——
   将碍事的盘子搬到另一根柱子上面去。于是，我们要做的是（规律2）：保存当
   前柱的信息（柱子号、应该搬动的最下面一块盘子的号，和它的目标柱），以备
   当障碍清除后回到现在的柱子继续搬，将当前柱转换为碍事的盘子所在的柱子。
   假设这样若干步后，我们将7号盘子从A搬到了C，此时，保存当前柱号的栈一定
   是空了，我们该怎么办呢？


<P align=center><IMG src="http://www.yesky.com/image20010518/75774.gif"></P>
　　    显而易见的，转换当前柱为B，把6号盘子搬到C。由此可得出（规律3）：
   假设当前的问题规模为n，搬动第n个盘子到C后，问题规模减1，当前柱转换到另
   一个柱子，最下面的盘子的目标柱为C。

　　    综上，我们已经把这个问题解决了，可以看出，关键是如何确定当前柱需
   要移动多少盘子，这个问题请大家自己考虑，给出如下例程，因为没有经过任何
   优化，本人的编码水平又比较低，所以这个函数很慢——比递归的还慢10倍。

   #include <IOSTREAM>
   #include <VECTOR>

   using namespace std;
   class Needle
   {
   public:
   Needle() { a.push_back(100); }//每一个柱子都有一个底座
   void push(int n) { a.push_back(n); }
   int top() { return a.back(); }
   int pop() { int n = a.back(); a.pop_back(); return n; }
   int movenum(int n) { int i = 1;while (a > n) i++; return
                       a.size() - i; }
   int size() { return a.size(); }
   int operator [] (int n) { return a[n]; }
   private:
   vector<INT> a;
   };

   void Hanoi(int n)
   {
   Needle needle[3], ns;//3个柱子，ns是转换柱子时的保存栈，借用了Needle
   的栈结构
   int source = 0, target, target_m = 2, disk, m = n;
   for (int i = n; i > 0; i--) needle[0].push(i);//在A柱上放n个盘子
   while (n)//问题规模为n，开始搬动
   {
   if (!m) { source = ns.pop(); target_m = ns.pop();
   m = needle[source].movenum(ns.pop()); }//障碍盘子搬走后，回到原来的
   当前柱
   if (m % 2) target = target_m; else target = 3 - source -
   target_m;//规律1的实现
   if (needle[source].top() < needle[target].top())//当前柱顶端盘子可
   以搬动时，移动盘子
   {
   disk = needle[source].top();m--;
   cout << disk << " move " << (char)(source + 0x41) << " to "<<  
   (char)(target + 0x41) << endl;//显示搬动过程

   needle[target].push(needle[source].pop());//在目标柱上面放盘子
   if (disk == n) { source = 1 - source; target_m = 2; m = --n; }规
    律3的实现
   }

   else//规律2的实现
   {
   ns.push(needle[source][needle[source].size() - m]);
   ns.push(target_m); ns.push(source);
   m = needle[target].movenum(needle[source].top());
   target_m = 3 - source - target; source = target;
   }
   }
   }<FONT size=3> </FONT>

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<img src="images/post/smile/dvbbs/em06.gif" />上了大三才体会到大二的数据结构有多么的重要，现在老师说什么都不知道，后悔死了……